- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 77984
Задание №77984 ЕГЭ по Математике (профиль)
В прямоугольную трапецию 
с большим основанием 
и прямыми углами 
и 
вписана окружность с центром в точке 
радиуса 
Точка 
- точка касания данной окружности и стороны 
трапеции 
Биссектриса угла 
перпендикулярна стороне 
и пересекает её в точке 
а) Докажите, что 
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника 
если 
Решение:
Биссектриса угла 
проходит через центр вписанной окружности 
Перпендикуляр проведённый из точки 
к прямой 
равен радиусу окружности. Значит 
принадлежит биссектрисе 
Так как 
прямой, а 
биссектриса этого угла, то 
Получаем треугольник 
- равнобедренный (так как 
(по условию), а 
то и угол 
и 
Так как 
а 
то 
- равнобедренный и 
По теореме Пифагора найдем 
- биссектриса угла 
- биссектриса 
По свойству трапеции сумма углов 
тогда 
то есть 
- прямоугольный. Получаем 
По свойству двух касательных к окружности, проведенных из одной точки 
Ч. т. д.
Б) Пусть 
- это искомый радиус, то есть радиус окружности, описанной около четырёхугольника 
(по двум сторонам и углу между ними).
Так как 
то 
- диаметр описанной окружности (обратная теорема Фалеса для прямоугольного треугольника) → 
По теореме Пифагора для треугольника 
Получаем 
Ответ: 
Источник: Сборник И.В. Ященко