- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 78494
Задание №78494 ЕГЭ по Математике (профиль)
Окружность с центром в точке 
радиуса 
вписана в угол с вершиной в точке 
равный 
Точки 
и 
- точки касания угла и окружности, а 
и 
- диаметры окружности.
а) Докажите, что 
б) Прямые 
и 
вторично пересекают окружность в точках 
и 
соответственно. Найдите площадь четырехугольника 
если 
Решение:
а) Треугольники 
и 
равны по двум сторонам и углу между ними, поскольку 
и углы и вертикальные. Значит, 
Отрезки касательных 
и 
равны, а угол 
равен 
откуда треугольник равносторонний.
Значит, 
б) Углы 
и 
прямые, как углы между касательной и радиусом, проведенным в точку касания. Тогда в четырехугольнике 
угол 
равен 
Из равнобедренного треугольника 
получаем, что 
Из прямоугольного треугольника 
получаем, что 
а 
Аналогично из треугольника 
получаем: 
Поскольку 
по свойству секущей получаем, что 
откуда треугольники 
и 
подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Значит, четырехугольник 
является равнобедренной трапецией, в которой косинус угла 
при основании 
равен:
Из равнобедренного треугольника 
Тогда в трапеции 
высота равна:
а основание 
равно:
Значит, площадь трапеции 
равна:
Ответ: б) 
Источник: Сборник И.В. Ященко