- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 78421
Задание №78421 ЕГЭ по Математике (профиль)
На стороне 
ромба 
отметили точку 
такую, что 
а) Докажите, что косинус острого угла ромба равен 0,8.
б) На луче 
где 
- высота треугольника 
отметили такую точку 
что около четырёхугольника 
можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности, если 
Решение:
а) Рассмотрим треугольники 
и 
- общая, 
и 
- общий (
(свойство ромба)), получаем, что 
подобен 
(по двум углам):
Воспользуемся теоремой косинуса:
Ч. т. д.
б) Так как по условию около 
можно описать окружность, то 
(свойство). 
(опираются на одну дугу 
).
В 
(свойство ромба) 
получаем
- равнобедренный. Получаем, что точка 
лежит на серединной перпендикуляре 
(то есть на 
). 
пересекает 
в точке 
- середина 
и по теореме Пифагора в 
Так как 
Воспользуемся формулой синуса:
Ответ: б) 
Источник: Сборник И.В. Ященко