- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 75333
Задание №75333 ЕГЭ по Математике (профиль)
Тема : Окружности и четырехугольники
Раздел: Планиметрия второй части
Окружность с центром в точке 
вписана в ромб 
и касается его сторон 
и 
соответственно в точках 
и 
а) Докажите, что прямая 
параллельна диагонали ромба 
б) Найдите длину диагонали 
если известно, что 
и 
Решение:
а) 
(отрезки касательных равны).
Пусть сторона ромба 
тогда 
и 
Так как 
то 
по обратной теореме о пропорциональных отрезках.
б) 
(отрезки касательных равны), поэтому треугольник 
- равнобедренный.
- биссектриса (диагонали ромба биссектрисы, а - часть биссектрисы).
Значит и высота, поэтому 
(как соответственные углы при параллельных прямых и секущей 
).
и 
По теореме Пифагора:
тогда 
(вертикальные углы)
тогда угол 
подобен 
Ответ: б) 
Источник: Сборник И.В. Ященко