Задание №47707 ЕГЭ по Математике (профиль)

Тема : Многоугольники и их свойства

Раздел: Планиметрия второй части

17 линия

Не выполнено

Существует такой параллелограмм MNKP, что окружность, проходящая через точки M и N, касается стороны KP в точке H. Точки F и E отмечены на сторонах MP и NK в точках пересечения этой же окружности.

а) Приведите доказательства того, что точки K, P, F и E образуют одну окружность.

б) Вычислите длину отрезка MP, зная, что Формула

Решение:

а) Рассмотрим образовавшийся четырехугольник MNEF: MF параллелен NE, следовательно, MNFE – либо является прямоугольником, либо является равнобедренной трапецией, откуда Формула но зная, что MNKP – параллелограмм, то этого быть не может, следовательно, четырехугольник также является либо прямоугольником, либо равнобедренной трапецией, следовательно, около него можно описать окружность.

б) Используя теорему Птолемея, решаем: Формула Допустим, что Тогда Значит, продолжая по теореме Птолемея, получим: Откуда так как второе решение уравнение будет отрицательным, чего быть не может.

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) Формула

Источник: NeoFamily