Задание №38487 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а)

Окружность вписана в углы: и  Центр окружности, которая вписана в угол, расположен на биссектрисе этого угла, значит - биссектрисы и делят соответствующие углы пополам.


Как односторонние углы, при параллельных прямых (основания трапеции) и секущих  и соответственно.
Зная о биссектрисах поделим всё на 2:


Получаем:


Рассмотрим треугольники и сумма углов любого треугольника равна тогда:



и



Получили:

Что и требовалось доказать.

б)

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны:




Т. к. то:


Проведём радиусы из точки к касательным  и тогда точка значит - это одна прямая и высота трапеции:

Проведем еще одну высоту трапеции

- прямоугольник, значит,  найдем 

Из прямоугольного  по теореме Пифагора найдем 


Выразим площадь 

В четырёхугольнике проведём диагональ прямые и отсекают равные
отрезки , значит, они по теореме Фалеса параллельны т. к. то  значит, угол между диагоналями 
Диагональ как высота трапеции.
Проведём и пересекающая в точке  - параллелограмм, значит

подобен  ( - общий,  - соответственные). Из пропорциональности сторон найдем 





Найдем диагональ 

Выразим площадь 

Подставим выраженные площади с исходным отношением:












Т. к.  большее основание, а  меньшее, то их отношение равно 6.

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 6

Источник: Сборник И.В. Ященко