- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 38439
Задание №38439 ЕГЭ по Математике (профиль)
На сторонах 
и 
четырёхугольника 
около которого можно описать окружность, отмечены точки 
и 
соответственно. Около четырёхугольников 
и 
также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырехугольника 
равен 0,25.
a) Докажите, что четырёхугольник 
является равнобедренной трапецией.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника 
если радиус окружности, описанной около четырёхугольника 
равен 8, 
a 
и 
Решение:
а) Так как вокруг четырёхугольника 
можно описать окружность, то:
Очевидно, что 
- соответствующие для прямых 
и секущей 
Следовательно, 
и 
– трапеция. В этой трапеции: 
но 
значит, 
Так как 
и 
то 
- соответствующие для прямых 
и секущей 
Следовательно, 
значит, 
– равнобедренная трапеция.
б) По условию 
тогда:
Вокруг четырехугольника 
описана окружность, следовательно:
Проведем высоту 
трапеции так, что 
Пусть 
тогда 
Из треугольника 
Из треугольника 
Следовательно, 
и 
Треугольники 
и 
подобны:
Следовательно, 
Из треугольника 
Из треугольника 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: Сборник И.В. Ященко