- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 38285
Задание №38285 ЕГЭ по Математике (профиль)
В трапеции 
с меньшим основанием 
точки 
и 
— середины сторон 
и 
соответственно. В каждый из четырёхугольников 
и 
можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции 
если 
а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник 
равен 
Решение:
а) В четырехугольник 
и четырехугольник 
вписаны окружности, следовательно:
Учитывая, что
и 
(по условию), то 
то есть 
и 
– равнобедренная трапеция.
б) В четырехугольник 
вписана окружность: 
как радиусы окружности. Причем: 
Отрезки 
и 
– биссектрисы углов и 
(так как 
– трапеция). Следовательно, треугольник 
– прямоугольный с гипотенузой 
Пусть 
тогда:
Второй корень 
не удовлетворяет условию 
При 
, имеем:
Из треугольника 
Из треугольника 
Из треугольника 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 9,1
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)