Задание №38356 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть - трапеция, описанная около данной окружности. Пусть  Тогда суммы противоположных сторон трапеции равны, следовательно,
То, что окружность пересекает в двух точках, равносильно тому, что  Если окружность не пересекает сторону  или касается ее, то имеем:

Получили противоречие. Следовательно, окружность пересекает сторону  в двух точках. Что и требовалось доказать.

б) Пусть окружность пересекает  в точках  и  считая от точки  Пусть  Тогда  Так как трапеция равнобедренная, то точка  касания окружности с основанием  делит его пополам. Следовательно,  Так как отрезки касательных равны, то для точки  касания окружности со стороной  имеем:

Так как квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то:

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б)

Источник: Сборник И.В. Ященко