- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 38089
Задание №38089 ЕГЭ по Математике (профиль)
В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке P. Через точку Р параллельно прямой KN провели прямую, которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках А и В. При этом АВ = КL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите 
если 
Решение:
а)
Начинаем с чертежа. Отмечаем равные углы 
как накрестлежащие при 
- равнобедренный треугольник; 
тогда 
Аналогично, 
как накрестлежащие 
- равнобедренный треугольник 
Тогда, согласно расширенной теореме Фалеса, 
трапеция равнобедренная, что и требовалось доказать.
б)
Отмечаем все, что дано на чертеже + доказанное в пункте а).
(как односторонние при 
).
т. к. трапеция равнобедренная.
(как соответственные при 
).
Запишем теорему косинусов для 
То же самое для 
Приравниваем полученные выражения:
Подставляем обратно под одно из выражений для косинуса:
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) -0,296
Источник: Сборник И.В. Ященко