Задание №38039 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

Начинаем с чертежа.
а) Поскольку нам нужно доказать отношение сторон, нужно искать подобные треугольники. Какие треугольники включают стороны и ? Для первой пары возьмём треугольник  для второй пары возьмём треугольник Нужно доказать их подобие, и задача решена. Начнем с углов параллелограмма. Введем обозначения для данных углов.

Так как  - биссектриса угла  углы, на который разделился угол будут равны
как накрест лежащие равны 
- 
как накрест лежащие равны
Получаем, что в каждом треугольнике есть пара равных углов, т. е. треугольники  и  подобны по двум углам:
что и требовалось доказать.
б) Пострим чертёж:

Отметим данные из условия б на чертеже. Сразу можно отметить, что треугольник  является равнобедренным (углы при основании раны). То есть, 
Рассмотрим треугольники  и 
- по условию;
- общая;
- из равнобедренного треугольника.

Из равенства треугольников получаем, что  - биссектриса, медиана, высота равнобедренного треугольника 
Рассмотрим прямоугольный треугольник 

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник 

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 29,7

Источник: Сборник И.В. Ященко