- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 38029
Задание №38029 ЕГЭ по Математике (профиль)
На сторонах 
и 
четырёхугольника 
около которого можно описать окружность, отмечены точки 
и 
соответственно. Около четырёхугольников 
и 
также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырехугольника 
равен 0,2.
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника 
если радиус окружности, описанной около четырёхугольника 
равен 7, 
а 
и 
Решение:
а) Так как вокруг четырёхугольников 
и 
можно описать окружность, то:
следовательно, 
- соответственные для прямых 
и секущей 
получаем, что 
б) Так как 
и 
то 
- соответственные для прямых 
и секущей 
значит, 
и – трапеция.
Так как то
и трапеция – равнобедренная.
Пусть 
тогда 
Из треугольника 
Пусть 
Из треугольника
Из треугольника 
Значит, 
Для подобных треугольников 
и 
можно записать отношение: 
(так как 
). Имеем: 
Из треугольника 
(
):
Также 
и по теореме косинусов из треугольника 
имеем:
Так как вокруг четырехугольника 
можно описать окружность, то:
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: Сборник И.В. Ященко