Задание №37838 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Так как противоположные стороны не параллельны, то  Тогда из подобных по условию треугольников имеем:

1 случай:
Пусть  Тогда  что не противоречит условию на подобие треугольников (два равных треугольника - подобные треугольники с коэффициентом подобия, равным 1). Следовательно,  - дельтоид (четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и одна из них делит вторую пополам).
Пусть AJ - биссектриса  Тогда биссектрисы углов A, B и D дельтоида пересекаются в точке J. Докажем, что CJ - биссектриса  Так как  по трем сторонам, то по свойству биссектрисы

Следовательно, по признаку CJ - биссектриса. Таким образом, J - точка пересечения биссектрис всех углов четырехугольника ABCD, следовательно, J - центр вписанной в него окружности.

2 случай:
Если  то аналогично предыдущему случаю ABCD - дельтоид, но уже с  и  Далее верны аналогичные рассуждения.
Что и требовалось доказать.

б) Итак, ABCD - дельтоид. Из пункта а) следует, что ABCD - вписанный (), причем два противоположных угла из четырех равны по  Следовательно, их сумма равна  значит, одна из диагоналей AC или BD является диаметром описанной окружности. Докажем, что это бо́льшая диагональ. Отсюда будет понятно, какие из двух углов дельтоида прямые.

Предположим, что меньшая диагональ AC - диаметр описанной окружности. Тогда I - середина AC и центр описанной окружности. Если BD делит AC пополам, то  следовательно,  Но  так как в этом случае ABCD - ромб, что противоречит условию на непараллельность противоположных сторон. Если AC делит BD пополам, то имеем:  Также противоречие.

Таким образом, BD - диаметр описанной окружности, следовательно,  Также попутно мы доказали, что именно бо́льшая диагональ делит меньшую пополам, то есть O - середина AC.
Тогда имеем  
Пусть  Тогда получаем систему

Ответ: б) 

Источник: Сборник И.В. Ященко