- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 37808
Задание №37808 ЕГЭ по Математике (профиль)
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, а угол BDC равен 
Точка Р лежит вне прямоугольника, а угол BPC равен 
а) Докажите, что углы ВСР и РОВ равны.
б) Прямая РО пересекает сторону АD в точке F. Найдите DF, если 
и 
Решение:
а) ABCD - прямоугольник, следовательно, 
и треугольник DOC-равнобедренный. По условию задания 
значит, 
и 
Можно заметить, что 
и вокруг четырехугольника OBPC можно описать окружность. При этом, углы BCPи POB опираются на одну и ту же дугу BP, следовательно, они равны.
б) Хорды 
следовательно, равны и дуги OC и OB. На эти дуги опираются углы OPC и OPB, значит, 
и PO-биссектриса, а PM-биссектриса треугольника BPC. По свойству биссектрисы: 
Рассмотрим треугольник BPC. По теореме косинусов находим сторону BC:
Пусть 
тогда 
Имеем:
Треугольники DOF и BOM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (
углы 
и 
). Следовательно, 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: 
Источник: Сборник И.В. Ященко