- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 37802
Задание №37802 ЕГЭ по Математике (профиль)
В четырёхугольнике 
противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O.
а) Докажите, что около четырёхугольника 
можно описать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если 
Решение:
а) В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, следовательно, 
Пусть 
(так как треугольники ABO и CBO подобны по условию задания). Также 
и 
из подобия треугольников CBO и DCO. Причем должно выполняться условие: 
Наконец, из подобия треугольников DCO и DAO следует, что 
Имеем:
Из последних двух равенств следует, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.
б) Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с биссектрисой BO, следовательно, она же является и высотой и медианой, поэтому 
Учитывая, что 
треугольник BCD – прямоугольный с высотой CO. Пусть 
тогда 
и
Решаем квадратное уравнение, получаем два корня: 
Следовательно,
или, наоборот, 
Предположим, что 
тогда:
Для второго варианта: 
Так как 
то периметр четырехугольника ABCD, равен: 
Площадь четырехугольника ABCD: 
И также ее можно определить по формуле: 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: Сборник И.В. Ященко