Задание №37621 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а)

Окружность вписана в углы:  и  Центр окружности, которая вписана в угол, расположен на биссектрисе этого угла, значит - биссектрисы и делят соответствующие углы пополам.


Как односторонние углы при параллельных прямых  (основания трапеции) и секущих и соответственно.
Зная о биссектрисах поделим всё на


Получаем:


Рассмотрим треугольники и сумма углов любого треугольника равна тогда:



и



Получили:

Что и требовалось доказать.

б) Найти:  если  

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны:




Т. к.  то:


Проведем радиусы из точки к касательным и тогда  точка  значит, - это одна прямая и высота трапеции:

Проведем еще одну высоту трапеции 

- прямоугольник, значит, найдем 

Из прямоугольного  по теореме Пифагора найдем 




Выразим площадь 

В четырёхугольнике проведём диагональ прямые и отсекают равные отрезки значит, они по теорема Фалеса параллельны т. к.  то значит, угол между диагоналями 
Диагональ как высота трапеции.
Проведём и пересекающая в точке - параллелограмм, значит,

 подобен ( - общий, - соответственные). Из пропорциональности сторон найдём





Найдем диагональ 

Выразим площадь 

Подставим выраженные площади с исходным отношением:












Т. к. у нас  большее основание, а  меньшее, то их отношение равно 

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 8

Источник: Сборник И.В. Ященко