Задание №232 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

Первое уравнение задаёт две симметричные окружности с радиусом 3 и центрами (-5; 4); (5; 4).
Второе уравнение задаёт окружность с центром в точке (4; 0) и радиусом а>0.
Таким образом, одно единственное решение будет тогда, когда вторая окружность касается только одной из первых окружностей.
Построим:

Получаем касание в точках A и B.
Случай 1 (касание с окружностью O₂):
Найдём расстояние O₃A:

Рассмотрим  - прямоугольный

Тогда 
Случай 2 (касание с окружностью O₁):

Рассмотрим  - прямоугольный

Тогда 

Проверим, не может ли быть другого касания:
в этом случае будет несколько пересечений, а нам нужно только одно решение.

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)