Задание №37948 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
В первой строчке системы записана окружность с центром в точке у которой меняется радиус.
Во второй строчке  - уравнение прямой, пересекающей ось ОХ в точке и еще с изменяющимся углом наклона.

Чтобы было два решения нужно, чтобы прямая пересекала окружность в двух точках.
Связка следующая: расстояние от центра окружности до прямой должно быть меньше радиуса самой окружности. (Если оно равно радиусу, то мы получаем касательную).
Значит, система сведется к неравенству.
Радиус окружности равен
Нужно выразить h - искомое расстояние.
Расстояние от точки до прямой можно вычислить по формуле:
 координаты точки, - прямая.
Уравнение прямой у нас:

Центр окружности имеет координаты
Подставляем в формулу и составляем неравенство:


Домножу неравенство на 10, чтобы убрать десятичную дробь и заменим модуль другой переменной:



Так как не равно нулю (иначе окружности не будет), то m тоже не равно нулю на m можно разделить все неравенство. Знак не поменяется, так как m - модуль а значение модуля не отрицательно.

Приравниваем к нулю и решаем уравнение.
Первый корень подберем из делителей числа 27. Подходит 3.
Теперь разложим уравнение на множители с помощью этого корня.
Разделим полученное уравнение на
Получаем новый вид уравнения: 
Первый корень мы подобрали 
Разбираемся со вторым уравнением. Оно решений не имеет  
Возвращаемся к неравенству. Отмечаем корень на прямой.

Ответ:

Источник: Сборник И.В. Ященко