- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 80075
Задание №80075 ЕГЭ по Математике (профиль)
В правильной треугольной усечённой пирамиде 
площадь нижнего основания 
в девять раз больше площади меньшего основания 
Через ребро 
проведена плоскость 
которая пересекает ребро 
в точке 
и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.
а) Докажите, что точка 
делит ребро 
в отношении 5:13, считая от точки 
б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью 
если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.
Решение:
а) Пусть 
тогда 
(условие).
Из точки 
проведем перпендикуляр к основанию. Таким образом 
это 
и перепендикуляр из точки 
Получаем 
(по условию)
Получаем 
Найдем отношение:
(по 2-ум углам)
Следовательно:
Получаем 
Что и требовалось доказать.
б) Так как 
получаем, что отношение сторон треугольников равно 
т. е
(Из-за подобия).
Пусть 
и 
- центры 
и 
(точка пересечения медиан биссектрисы и высот).
Тогда 
(коэффициент подобия).
Так как 
- равносторонний, а 
- центр, то по свойству медиан 
(
- медиана 
).
(по 2-ум углам)
Так как 
- равносторонний, значит 
следовательно 
По теореме Пифагора в 
Получаем:
Ответ: 48,5
Источник: Сборник И.В. Ященко