- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 59892
Задание №59892 ЕГЭ по Математике (профиль)
В остроугольном треугольнике ABC равны стороны AB и BC. Внутрь треугольника вписана окружность с центром I, а вокруг него описана окружность с центром O. На стороне BC выбрана точка X так, что 
Известно, что 
а) Докажите, что I, O, X, C лежат на одной окружности.
б) Пусть 
Найдите радиус вписанной окружности треугольника АBC.
Решение:
а) Проведем высоту BE. Так как треугольник равнобедренный, BE будет и бисектриссой, а также пройдет через O и I.
Так как 
то 
как соответственные углы. С другой стороны, 
а значит 
Получаем, что 
и тем самым O, I, C, X лежат на одной окружности по признаку вписанного четырехугольника.
б) Проведем 
Так как I центр вписанной окружности, то IP будет ее радиусом. Во вписанном четырехугольнике 
поэтому 
По теореме косинусов в ∆IOX и ∆ICX имеем 
А тогда 
и 
Из прямоугольного треугольника ∆IPC имеем 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: NeoFamily