- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 76668
Задание №76668 ЕГЭ по Математике (профиль)
Тема : Окружности и треугольники
Раздел: Планиметрия второй части
Дан остроугольный треугольник 
Известно, что Точка 
- центр описанной окружности треугольника 
Вокруг треугольника 
описана окружность, которая пересекает сторону 
в точке 
а) Докажите, что треугольники 
и 
подобны.
б) Найдите 
если 
и 
Решение:
а) Пусть 
тогда 
Так как 
- центральный и 
- вписанный. Опираются на одну дугу 
Так как 
и 
опираются на одну дугу, то они равны.
Таким образом 
по 2-м углам:
- общий
что и требовалось доказать.
б) Из подобия 
и 
Получаем: 
Так как 
получаем, что 
- биссектриса.
По свойству биссектрисы: 
Ответ: б) 5
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)