Задание №37404 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

а) Делаем чертеж, отмечаем все, что дано. Используем теорему Менелая: если есть треугольник  и он пересечен некоторой прямой  то верно соотношение:

Выразим  Если вся  то  - ее половина  Тогда 
Выразим  Если  то 
Тогда 
Подставляем в формулу:

что и требовалось доказать.

б)

Теперь ищем сторону ромба. Запишем все известные отношения. Вся сторона ромба равна  
Сдвинем высоту ромба  до точки  Тогда точка сдвинется влево на  и перейдет в точку   
Вычислим высоту 
- средняя линия треугольника 

Из подобных треугольников и  получаем, что

Тогда вся высота равна:

Запишем теорему Пифагора:




Тогда 

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б)

Источник: Сборник И.В. Ященко