- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 81131
Задание №81131 ЕГЭ по Математике (профиль)
В прямоугольном треугольнике 
точки 
и 
- середины гипотенузы 
и катета 
соответственно. Биссектриса угла 
пересекает прямую 
в точке 
а) Докажите, что треугольники 
и 
подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если 
Решение:
а) По условию 
- середина 
а 
- середина 
значит 
- средняя линия треугольника 
таким образом 
Пусть 
(как накрест лежащие при 
и секущей 
).
Таким образом 
- равнобедренный, т. е. 
т. е. 
- медиана, а 
- прямоугольный с 
Пусть 
Рассмотрим 
и 
:
(как вертикальные).
тогда 
Так как 
, а 
Следовательно, 
- высота и медиана 
- равнобедренный, т. е. 
Получаем 
(по двум углам):
б) По условию 
т. е. 
Вспомним формулу двойного угла: 
Так как (по п. а), то: 
То есть коэффициент подобия 
равен 
Отношение площадей 
и 
равно: 
Ответ: 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)