- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 76630
Задание №76630 ЕГЭ по Математике (профиль)
В прямоугольный треугольник 
с прямым углом 
вписана окружность с центром в точке 
и радиусом 
К этой окружности параллельно прямой 
проведена касательная, которая пересекает стороны 
и 
в точках 
и 
соответственно. В треугольник 
вписана окружность с центром в точке 
и радиусом 
Прямые 
и 
пересекаются в точке 
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника 
если 
Решение:
а) Так как точки 
и 
- центры окружностей, прямая 
- часть биссектрисы из угла 
- биссектриса.
По свойству биссектрисы: 
б) Проведем радиусы окружностей:
Так как радиус перпендикулярен касательной.
Так как 
как соответственные.
Тогда образуются квадраты: 
так как 3 угла по 90 градусов и смежные, стороны равны.
по 2-ум углам.
Отрезки касательных равны.
- теореме Пифагора для треугольника 
Ответ: б) 270
Источник: Сборник И.В. Ященко