Задание №78474 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

а) Прямая DK пересекает прямую SO в точке N.
В треугольнике - середина и - середина основания пирамиды
По теореме Менелая получим отношение:

Так как и - медианы, то точка - точка пересечения медиан. Проведем прямую через точку - медиана.
В плоскости  через точку  проведём прямую  Пусть  пересекает  в точке 
Так как точкой медиана делится в отношении 2 к 1, то и медиана будет делится точкой в отношении 2 к 1
Прямая  параллельна  а  лежит в плоскости  Применим теорему Фалеса для :

Ч. т. д.

б)

Расстояние между прямой и  расстояние между прямой и плоскостью расстояние между и плоскостью (расстояние между и плоскостью ()) - так как отношение то расстояние домножаем на 2.
По условию у нас правильная пирамида, значит в ее основании лежит квадрат, тогда по теореме Пифагора найдем диагональ квадрата:

Так как и то




Проведем  - высоту в прямоугольном треугольнике

По теореме Пифагора:

Проведем - высоту в прямоугольном треугольнике

По теореме Пифагора:

Расстояние между прямой  и

Ответ: б) 

Источник: Сборник И.В. Ященко