- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 78452
Задание №78452 ЕГЭ по Математике (профиль)
В правильной пирамиде 
с высотой 
точка 
- середина ребра 
Прямая 
пересекается с плоскостью 
в точке 
а) Докажите, что прямая 
проходящая через точку 
параллельно прямой 
делит ребро 
в отношении 1:2.
б) Найдите расстояние между прямыми 
и 
если 
Решение:
а) Прямая DK пересекает прямую SO в точке N.
В треугольнике 
- середина 
и 
- середина основания пирамиды 
По теореме Менелая получим отношение:
Так как 
и 
- медианы, то точка 
- точка пересечения медиан. Проведем прямую 
через точку 
- медиана.
В плоскости 
через точку 
проведём прямую 
Пусть 
пересекает 
в точке 
Так как точкой медиана 
делится в отношении 2 к 1, то и медиана 
будет делится точкой в отношении 2 к 1 
Прямая 
параллельна 
а 
лежит в плоскости 
Применим теорему Фалеса для 
:
Ч. т. д.
б)
Расстояние между прямой 
и 
расстояние между прямой 
и плоскостью 
расстояние между 
и плоскостью 
(расстояние между 
и плоскостью (
)) - так как отношение 
то расстояние домножаем на 2.
По условию у нас правильная пирамида, значит в ее основании лежит квадрат, тогда по теореме Пифагора найдем диагональ квадрата:
Так как 
и 
то 
Проведем 
- высоту в прямоугольном треугольнике 
По теореме Пифагора: 
Проведем 
- высоту в прямоугольном треугольнике 
По теореме Пифагора: 
Расстояние между прямой 
и 
Ответ: б) 
Источник: Сборник И.В. Ященко