- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 78418
Задание №78418 ЕГЭ по Математике (профиль)
Ребро 
основания 
правильной призмы 
равно 
а высота 
равна 
На ребрах и 
отметили точки 
и 
соответственно так, что 
- середина ребра, а 
Через точки 
и 
параллельно прямой 
провели плоскость 
a) Докажите, что прямая 
перпендикулярна плоскости 
б) Найдите объём пирамиды с вершиной в точке 
и основанием, которое образовано сечением призмы плоскостью 
Решение:
а) Дополнительное построение:
Построим прямую 
и 
Продлим прямые 
и 
до пересечения в точке 
и продлим прямые и 
до пересечения в точке 
Соединим 
(которая пересекает 
в точке 
) и 
(которая пересекает 
в точке 
), получаем 
- сечение призмы плоскостью 
По условию 
- правильная призма, то в основании ее лежит квадрат, следовательно 
(так как 
принадлежит данной плоскости). Получаем 
Плоскость 
(по построению) 
Ч. т. д.
б) Вспомним формулу объема пирамиды:
Рассмотрим 
Так как 
(продолжение стороны )
то 
(как накрестлежащие при 
и секущей 
). 
(так как 
- диагональ квадрата) 
перпендиакулярна (так как - 
квадрат), следовательно и 
(так как 
принадлежит прямой 
). Так как треугольник 
прямоугольный, а 
то и 
и 
- равнобедренный 
Так как 
и 
- середина 
то по теореме Фалеса 
- середина 
подобен 
(по двум углам):
Вспомним формулу площади плоской фигуры:
(Где 
- это угол между плоскостью фигуры и плоскостью ее проекции).
Построим проекцию точек 
и 
на плоскость нижнего основания. Получим 
Так как 
проекция 
то 
и 
по теореме Фалеса 
Так как 
делит 
в отношении 1 к 2, то и 
делит 
в отношении 1 к 2 
Получаем 
- это угол между плоскостью и его проекцией (
). 
(Так как 
плоскости 
), тогда в 
Таким образом угол 
- искомый угол.
По теореме Пифагора для 
В 
Получаем 
(то есть основания)
Теперь необходимо найти сторону 
(высота):
Рассмотрим 
и 
(подобны по двум углам):
Получаем: 
Ответ: 
Источник: Сборник И.В. Ященко