- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 77528
Задание №77528 ЕГЭ по Математике (профиль)
На ребре 
прямоугольного параллелепипеда 
взята точка 
так, что 
на ребре 
- точка 
так, что 
а точка 
- середина ребра 
Известно, что 
а) Докажите, что плоскость 
проходит через вершину 
б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью 
Решение:
- параллелепипед.
а) 1) Достроим плоскость 
из точки 
проведем прямую параллельную 
(так как 
).
Получим точку 
2) 
(по признаку)
3) Пусть 
Пусть 
4) Из второго пункта 
(точки совпадают). Ч. т. д.
б) 5) Продлим 
и 
до пересечения, получим точку 
6) Рассмотрим плоскость 
Так как 
- общий, 
(по признаку)
7) По теореме Пифагора в 
8) Проведем высоту из точки 
в 
9) Рассмотрим 
По теореме Пифагора в 
По теореме Пифагора в 
10) Теорема косинусов в 
11) Проведем из точки 
высоту в 
12) Из пункта 8: 
и 
- точки совпадают.
13) 
- по теореме Пифагора в 
14) Теорема косинусов в 
Ответ: 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)