Задание №15935 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) 1) Пусть  — точка пересечения диагоналей грани Точки  и  принадлежат одновременно плоскостям и  Значит, точка  принадлежит прямой

2)  по двум углам:  как вертикальные,  как накрест лежащие при  и секущей  
3) Точка  делит медиану  треугольника в отношении 2:1, значит, — точка пересечения медиан этого треугольника. Так как  —середина  то  — медиана треугольника и  Значит, 

б) Пусть ребро куба равно a, тогда  
Для треугольника  выполняется теорема Пифагора, следовательно,  то есть  так как  откуда  По признаку перпендикулярности прямой и плоскости  Угол между прямой KL и плоскостью  равен углу между прямой  и плоскостью  так как (KL — средняя линия треугольника ).
— проекция  на плоскость   — искомый. В прямоугольном треугольнике  :   

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Сборник Лысенко Ф.Ф. (Легион)