Задание №37468 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник а основание высоты этой пирамиды - центр этого треугольника. Пусть  Тогда  и по теореме о трех перпендикулярах  Следовательно,  - апофема грани 
Проведем а через точку  проведем  Тогда  Докажем, что 
Пусть Тогда:
Пусть  Тогда:



Следовательно,
Значит,

Что и требовалось доказать.

б) Проведем как показано на рисунке. Тогда  следовательно,   проекция наклонной на плоскость  Так как угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то нужно найти 
- прямоугольный с прямым углом  
Следовательно, 

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Сборник И.В. Ященко