Задание №38869 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

а)  Треугольники SNK и MNK равнобедренные и имеют общее основание. Проведем медианы SE и ME к этому основанию. Они попадут в одну точку E, которая является серединой NK, и будут являться высотами данных треугольников. Тем самым, прямая NK перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости MSE, а значит, и всей этой плоскости. Но тогда прямая NK перпендикулярна любой прямой плоскости MSE. В частности, перпендикулярна прямой SM.

б)  Построим высоту MF треугольника MSE. Заметим, что MF перпендикулярна плоскости SNK, поскольку по построению перпендикулярна прямой SE и в то же время перпендикулярна прямой NK. Тогда прямая SE является проекцией SM на плоскость SNK, а значит, угол между прямой SM и плоскостью SNK есть угол MSF.
Заметим, что  а  Пусть точка F делит ребро SE на отрезки и  Выразим квадрат катета MF из треугольников MFS и MFE и приравняем найденные значения:    Тогда Откуда

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: NeoFamily