- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 37651
Задание №37651 ЕГЭ по Математике (профиль)
Основание пирамиды 
- прямоугольный треугольник 
с прямым углом при вершине 
Высота пирамиды проходит через точку 
а) Докажите, что середина ребра 
равноудалена от вершин 
и 
б) Найдите угол между плоскостью 
и прямой, проходящей через середины рёбер 
и 
если известно, что 
.
Решение:
а) Пусть 
- середина ребра 
По теореме о трёх перпендикулярах прямые 
и 
перпендикулярны. Медиана 
прямоугольного треугольника 
равна половине гипотенузы 
Медиана 
прямоугольного треугольника 
также равна половине гипотенузы 
Значит, 
б) Пусть 
- середина ребра 
- середина ребра 
тогда 
- средняя линия треугольника 
Значит, 
прямые 
и 
параллельны, то есть 
- перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, поэтому отрезок 
перпендикулярен отрезку 
- средняя линия треугольника 
поэтому 
а прямые 
и 
параллельны, значит отрезок 
перпендикулярен отрезкам 
и 
следовательно 
- перпендикуляр к плоскости грани 
Таким образом, угол 
- это угол между прямой 
и плоскостью грани 
По условию задачи 
поэтому 
значит, 
Следовательно, угол 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: 
Источник: Сборник И.В. Ященко