- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 76646
Задание №76646 ЕГЭ по Математике (профиль)
Основанием правильной треугольной пирамиды 
является треугольник 
На апофеме грани 
отметили точку 
которая делит эту апофему в отношении 
считая от точки 
Через точки 
и 
параллельно прямой 
проведена плоскость 
а) Докажите, что плоскость 
перпендикулярна апофеме грани 
б) Найдите угол между прямой 
и плоскостью 
Решение:
а) Доказать: 
апофеме грани 
Проведём 
и 
- высота пирамиды 
- проекция 
на плоскость 
По теореме о трёх перпендикулярах для перпендикуляра 
проекции 
и наклонной 
- апофема грани 
Проведём 
- плоскость 
Пусть 
По теореме Пифагора для 
По теореме косинусов для 
и 
По теореме косинусов для 
и 
по обратной теореме Пифагора: 
Ч. т. д.
б) Найти: 
Так как 
и 
- высоты, биссектрисы и медианы 
- средняя линия 
По теореме о трёх перпендикулярах для перпендикуляра 
проекции 
и наклонной 
- апофема грани 
Так как 
и 
- апофемы правильной пирамиды, значит 
- равнобедренный.
Проведём 
- высота, биссектриса и медиана.
Ответ: б) 
Источник: Сборник И.В. Ященко