- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 37937
Задание №37937 ЕГЭ по Математике (профиль)
Основанием правильной треугольной пирамиды РАВС является треугольник АВС, 
На апофеме грани ВСР отметили точку К, которая делит эту апофему в отношении 
считая от точки Р. Через точки А и К параллельно прямой ВС проведена плоскость 
а) Докажите, что плоскость 
перпендикулярна апофеме грани BCP.
б) Найдите угол между прямой АС и плоскостью α.
Решение:
а) Проводим апофему РМ, плоскость 
параллельна ВС, значит, она пересечет грань СРВ отрезком NE также параллельна ВС.
Построим высоту пирамиды РО.
Обозначим сторону треугольника в основании 4х, а боковое ребро пирамиды равно 3х.
По теореме Пифагора мы можем выразить РМ, из равностороннего треугольника в основании мы можем выразить АМ, а дальше рассмотрим треугольник АРМ.
Треугольник МРВ; теорема Пифагора. 
Тогда, так как 
найдем отрезки 
и 
Теперь рассмотрим треугольник 
АО и МО мы находим из равностороннего треугольника (О - точка пересечения медиан 
делит АМ в отношении 2 к 1).
Рассмотрим треугольники АКМ и РОМ:
Получаем две пары пропорциональных сторон, между которыми угол М - общий для двух треугольников, значит, треугольники подобны. А значит, углы треугольников равны. Так как угол РОМ равен 90 градусов, то и угол АКМ так же равен 90 градусов, значит, АК перпендикулярно РМ 
плоскость 
перпендикулярно РМ 
плоскость 
перпендикулярна апофеме, что и требовалось доказать.
б)
Нам нужно вычислить угол между АС и плоскостью 
Обозначим его 
(на чертеже не изображено).
Заметим, что РМ перпендикулярно этой плоскость по условию, тогда искомый угол это 90 - угол между РМ и АС, что посчитать проще (аналог - прямоугольный треугольник, где один угол равен 90 - второй угол, только в пространстве).
Построим угол между РМ и АС.
Делаем параллельный перенос АС в точку М, отрезаем на АВ точку D.
MD - средняя линия АСВ.
Угол между РМ и АС = угол PMD.
Треугольник РMD - равнобедренный.
Выразим угол PMD:
Искомый угол тогда равен:
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: Сборник И.В. Ященко