Задание №37728 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть D - середина ребра SA. По теореме о трёх перпендикулярах прямые SC и АС перпендикулярны. Медиана CD прямоугольного треугольника ACS равна половине гипотенузы AS. Медиана BD прямоугольного треугольника ASВ также равна половине гипотенузы AS. Значит,

б) Пусть F - середина ребра ВС, М - середина ребра SC, тогда FM - средняя линия треугольника CBS. Значит,  прямые FM и BS параллельны, то есть FM - перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, поэтому отрезок FM перпендикулярен отрезку АС.
DM - средняя линия треугольника ASC, поэтому  а прямые DM и АС параллельны, значит отрезок DM перпендикулярен отрезкам FM и ВС, следовательно DM - перпендикуляр к плоскости грани CBS.
Таким образом, угол DFM - это угол между прямой DF и плоскостью грани CBS. По условию задачи  поэтому  значит,
Следовательно, угол

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б)

Источник: Сборник И.В. Ященко