Задание №60229 ЕГЭ по Математике (профиль)
На листе бумаги написано 50 различных натуральных чисел, таких, что их сумма равна 1300.
а) Могло ли среди написанных чисел отсутствовать число 30?
б) Могло ли среди написанных чисел быть число 100?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 10, могло быть записано на доске?
Решение:
а) Возьмем ряд чисел от 1 до 50 включительно, и найдём его сумму. Это можно сделать с помощью арифметической прогрессии: 
Так как числа 30 не должно быть по условию, то вычтем его из суммы. Тогда получается, что сумма 49 чисел равна 1245. Нам нужно еще одно число, такое, чтобы сумма всех чисел была равна 1300. Значит, это число 55, и его среди чисел не было. Значит, да, могло, например, для ряда чисел 1, 2,..., 29, 31, 32,..., 50, 55.
б) Для того, чтобы сумма чисел была минимальная, возьмем последовательность чисел от 1 до 49 включительно, и число 100. Найдем сумму с помощью арифметической прогрессии: 
Даже при наименьших возможных числах сумма больше, чем 1300, значит нет, не могло.
в) Возьмем последовательность чисел от 1 до 50 включительно с суммой всех чисел 1275. Будем заменять числа, кратные 10, на числа, которые больше 50 и не кратны 10.
Так, заменим 50 на 51, тогда сумма станет равна 1276. Заменим 40 на 52, и сумма станет равна 1288. Заменить 30 на 53 мы уже не можем, так как иначе сумма станет больше 1300. Тогда заменим 52 на 64, и сумма станет равна ровно 1300. Среди чисел осталось 3 числа, кратные 10: 10, 20, 30.
Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) да; б) нет; в) 3
Источник: NeoFamily