- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 17534
Задание №17534 ЕГЭ по Математике (профиль)
Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе в несколько туров: если в туре участвует чётное число игроков, то они разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётное, то с помощью жребия выбираются случайные игровые пары, а один игрок остаётся без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре игрок (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся два игрока, играющих между собой финальный тур, который выявляет победителя турнира. Всего в турнире 16 участников, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга — Леонид и Василий. Определите вероятность того, что в каком-то туре им придётся сыграть друг с другом.
Решение:
Рассмотрим два события:
A — «Леонид прекратил участие в турнире, проиграв Василию»;
B — «Василий прекратил участие в турнире, проиграв Леониду».
Эти два события несовместны, их объединение равносильно событию «Василий и Леонид встретились в рамках турнира».
Тогда искомая вероятность равна 
Найдём P(A). Рассмотрим две гипотезы: 
— «Леонид выиграл турнир», 
— «Леонид не выиграл турнир» (эти гипотезы являются противоположными событиями). P(
) = 
так как каждый из 16 игроков имеет по условию равные шансы на победу в турнире. Отсюда 
Очевидно, что 
(в этом случае событие A невозможно, так как если Леонид выиграл турнир, то он не мог проиграть Василию) и 
(если Леонид кому-то проиграл, то в силу одинаковых начальных шансов игроков Леонид с одинаковой вероятностью мог проиграть любому из них, кроме себя).
По формуле полной вероятности получаем, что 
Заметим, что P(B) = P(A) = 
так как все игроки в начале турнира находятся в одинаковой ситуации.
Искомая вероятность равна 
Ответ: 0,125
Источник: Сборник Лысенко Ф.Ф. (Легион)