- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 80115
Задание №80115 ЕГЭ по Математике (профиль)
В треугольнике 
известно, что 
и 
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне 
пересекает окружность, вписанную в треугольник 
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне 
Решение:
а) Проведем 
Так как 
- равнобедренный (условие), то 
- медиана, высота и биссектриса.
Тогда 
Рассмотрим 
по теореме Пифагора 
Чтобы окружность пересекалась средней линией треугольника, необходимо, чтобы 
(радиус).
где 
- площадь треугольника, 
- полупериметр.
Так как 
- средняя линия 
(свойство средней линии треугольника).
Проведем из точки 
перпендикуляр к 
получим 
и 
так как 
- прямоугольник.
(так как 
)
По теореме Пифагора в 
так как 
окружность пересекает среднюю линию в точках и 
Что и требовалось доказать.
б) Пусть 
- касательная к окружности, 
- секущая.
(свойство касательной и секущей).
(так как две касательные, проведенные из одной точки).
Тогда 
Тогда 
Ответ: б) 4:5:4
Источник: Сборник И.В. Ященко