- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 80060
Задание №80060 ЕГЭ по Математике (профиль)
Тема : Окружности и треугольники
Раздел: Планиметрия второй части
На сторонах 
и 
прямоугольного треугольника 
с прямым углом 
вне треугольника 
построены равнобедренные прямоугольные треугольники 
и 
с прямыми углами 
и 
соответственно.
и прямоугольного треугольника с прямым углом вне треугольника построены равнобедренные прямоугольные треугольники и с прямыми углами и соответственно.а) Докажите, что 
- высота треугольника 
- высота треугольника б) Найдите площадь треугольника 
если 
если Решение:
а) По условию 
Значит, четырёхугольник 
вписанный.
Хорды 
и 
описанной около четырёхугольника окружности равны. Значит, равны между собой стягиваемые этими хордами дуги, а также опирающиеся на эти дуги вписанные углы 
и 
Тогда 
По условию 
Следовательно, 
и 
а значит, 
- высота треугольника 
б) Пусть 
и 
- точка пересечения 
и 
Тогда по доказанному в пункте а) 
- биссектриса треугольника 
По свойству биссектрисы 
Отсюда 
и 
Поскольку
получаем, что треугольники 
и 
подобны по двум углам. Отсюда 
и 
Площадь треугольника 
равна половине произведения его высоты 
на основание 
Следовательно, искомая площадь равна 
Ответ: б) 8
Источник: Сборник И.В. Ященко