- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 78727
Задание №78727 ЕГЭ по Математике (профиль)
Тема : Окружности и треугольники
Раздел: Планиметрия второй части
В треугольнике 
со сторонами 
и на стороне 
отметили точку 
так, что 
а) Докажите, что 
- высота треугольника 
б) На луче отметили точку 
такую, что 
- биссектриса треугольника 
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника
Решение:
а) Так как точка 
делит сторону 
в отношении 2 к 1, то можно обозначить
а 
тогда 
а 
Чтобы 
являлось высотой необходимо, чтобы выполнялась теорема Пифагора для каждого из треугольников (
и 
):
Мы видим, что значение совпадает при нахождении по теореме Пифагора для каждого из треугольников 
- высота. Ч. т. д.
б) Так как 
- биссектриса, то по ее свойству: 
Пусть 
а 
Воспользуемся формулой биссектрисы:
Вспомним формулу радиуса окружности, вписанной в треугольник:
Получаем: 
Ответ: б) 
Источник: Сборник И.В. Ященко