- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 77891
Задание №77891 ЕГЭ по Математике (профиль)
В прямоугольную трапецию 
с большим основанием 
и прямыми углами 
и 
вписана окружность с центром в точке 
радиуса 
Точка 
– точка касания данной окружности и стороны 
трапеции 
Биссектриса угла 
перпендикулярна стороне 
и пересекает её в точке 
а) Докажите, что 
б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник 
если 
Решение:
а) Рассмотрим треугольник 
где 
- точка пересечения прямых 
и 
Прямая 
проходит через точку 
поскольку является биссектрисой угла 
В треугольнике 
биссектриса является высотой, откуда следует, что
Значит, 
Поскольку треугольник FABFAB также равнобедренный прямоугольный, получаем:
Следовательно, 
как отрезки касательных, проведённых из точки 
б) Заметим, что 
и 
значит, в четырёхугольник 
можно вписать окружность.
В треугольнике 
Трегольники 
и 
равны по катету и гипотенузе, откуда 
- биссектриса угла 
Обозначим точку пересечения биссектрисы 
и биссектрисы угла 
буквой 
По свойству биссектрисы для треугольника 
откуда
Значит радиус 
окружности, вписанной в четырехугольник 
равен:
Ответ: б) 
Источник: Сборник И.В. Ященко