- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 76015
Задание №76015 ЕГЭ по Математике (профиль)
Есть 4 камня, каждый массой 100 тонн, 5 камней, каждый массой 25 тонн, и 6 камней, каждый массой 4 тонны.
а) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этиъ групп были равны?
б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на 50 тонн больше суммарной массы второй группы, но на 50 тонн меньше суммарной массы третьей группы?
в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами 
и 
так, что 
Найдите наименьшее такое число 
что 
и 
Решение:
- масса всех камней в тоннах.
кратно 
а) Так как 
значит в каждой группе должно быть несколько камней, сумма масс которых равна – 183 тонны. Так как есть 4 камня массой по 100 тонн, значит в какой-то группе будет минимум 2 камня по 100 тон, значит будет 200 тонн, но 
таким образом, ответ - нет.
б) Получаем: 
где 
- масса первой группы, 
- масса второй группы, 
- масса третьей группы. Таким образом, разница между 1 и 2, 1 и 3 группами составляет 50 тонн, разница между 2 и 3 группами составляет 100 тонн.
Изначально в группах было 0 камней, то есть суммарная масса равна нулю. Добавим в первую группу 1 камень массой 100 тонн, 3 камня массой 25 тонн, 2 камня массой 4 тонн: 
тонн.
Добавим во вторую группу 1 камень массой 100 тонн, 1 камень массой 25 тонн, 2 камня массой 4 тонн: 
тонн.
Добавим в третью группу 2 камня массой 100 тонн, 1 камень массой 25 тонн, 2 камня массой 4 тонн: 
тонн.
Получаем: 
в) Найти: 
при котором будет выполняться 
и 
где 
будет минимальным, при 
а значит и при 
Так как 
значит 
Из пункта «а» знаем, что в одной из куч суммарно будет не менее 200 тонн, значит 
Предположим, что 
тогда: 
и 
Таким образом: 
Возьмем
Предположим, что 
тогда: 
и 
Таким образом: 
значит 
Предположим, что 
тогда: 
и 
Таким образом: 
В первой куче было 2 камня массой 100 тонн - 
Во второй куче было: 1 камень массой 100 тонн, 3 камня массой 25 тонн и 2 камня массой 4 тонны - 
В третьей куче было: 1 камень массой 100 тонн, 2 камня массой 25 тонн и 4 камня массой 4 тонны - 
Ответ: а) нет; б) да; в) 17
Источник: Сборник И.В. Ященко