Задание №38119 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Переберём все варианты.
1) Пусть первое число  второе в 7 раз больше, чем первое, то есть  третье число в 7 раз больше второго, то есть равно  Тогда


Число не целое, поэтому такой вариант не подходит.
2) Пусть первое число  второе в 7 раз больше первого, то есть  а третье в 7 раз меньше второго, то есть  Тогда


Число не целое, поэтому этот вариант тоже не подходит.
3) Пусть первое число  второе число в 7 раз меньше, то есть равно  а третье в 7 раз больше, чем второе, то есть равно  Тогда


Так как число не целое, то данный вариант тоже не подходит.
4) Пусть первое число  второе в 7 раз меньше, чем первое, то есть  третье число в 7 раз меньше второго, то есть равно  Тогда


Число не целое, поэтому этот вариант тоже не подходит.
Таким образом, сумма трёх чисел не может быть равна 7735.
б) Разобьём все числа на пары соседних: в первой паре первое и второе число, во второй паре третьей и четвёртое число и так далее. Пусть меньшее число в паре равно  Тогда большее в 7 раз больше, то есть равно  Сумма чисел в паре равна  Тогда в каждой паре сумма чисел делится на 8. Так как пар  - целое число, то сумма всех чисел последовательности делится на 8. Но 7735 не делится на 8. Значит, последовательность не может состоять из 6 чисел.
в) Разобьём все числа на пары соседних так же, как в пункте б. Пусть меньшее число в паре равно  Тогда большее в 7 раз больше, то есть равно  Сумма чисел в паре равна  Так как числа натуральные, то  Значит, сумма чисел в каждой паре не меньше, чем  Так как сумма всех чисел равна 7735, то пар не больше, чем  Тогда всего чисел в последовательности не больше, чем 
Приведём пример на 1933 числа. Пусть каждый нечётный член последовательности равен 7, каждый чётный член последовательности равен 1, то есть последовательности выглядит как Тогда сумма всех чисел равна

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в – 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в – 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен – 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: а) нет; б) нет; в) 1933

Источник: Сборник И.В. Ященко