Задание №62181 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть  — бесконечная геометрическая прогрессия с целыми членами. Так как  то не может быть иррациональным. Пусть тогда — дробь, где  и  взаимно простые числа. Предположим от противного, что  Для любого натурального
Так как  взаимно простые, то  должно делиться на  Но  поэтому для достаточно большого  число  превысит  — противоречие.
б) Ответ: нет. Аналогично п. а) знаменатель  не может быть иррациональным (но может быть дробью). Не уменьшая общности, прогрессия возрастающая, и значит  Пусть  — геометрическая прогрессия, для которой

Пусть  где  взаимно простые. Так как целое число, то  целое, и значит оно не меньше 1. С другой стороны,  поэтому  а так как  целое, то 
Так как  то  Тогда

Но тогда  Противоречие с тем, что 
в) Из пункта б) доказано, что четыре члена не могут быть. Пример с тремя членами: 240, 300, 375. Действительно,  Таким образом, максимальное количество членов — 3.

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) нет; б) нет; в) 3

Источник: NeoFamily