- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 77326
Задание №77326 ЕГЭ по Математике (профиль)
На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 5, но не превосходит 45. Вместо некоторых чисел (возможно одного) на доске написали числа меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 5, с доски стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 32. Могло ли среднееарифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 39?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 32. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Решение:
а) Да, может, например, если взять 10 чисел "6", и 10 чисел "7".
Первоначальное среднее арифметическое:
После уменьшения 10 чисел "6" на единицу получим 5, которые будут стерты, среднее арифметическое после изменений:
Таким образом мы видим, что среднее арифметическое увеличилось.
б) Пусть количество чисел 6 равно 
тогда сумма их 
Остальные 
чисел обозначим 
и еще одно число 
Их среднее арифметическое равно:
После уменьшения на 1 и стирания 5 с доски среднее арифметическое равно:
Получаем систему:
Вычтем 
:
- что невозможно.
в) Чтобы получить наибольшее среднее арифметическое на доске, изначально нужно записать набор чисел, состоящий из наименьшего количества чисел 6 (которые будут стерты после уменьшения на 1), а остальные числа должны быть максимальными
(
- количество 6; 
- 20-е число. Мы берем 6 так как числа должны быть больше 5).
Получаем:
из этого получаем, что наименьшее 
при 
Получаем последовательность: 
Среднее арифметическое: 
После стирания 5: 
Ответ: а) да б) нет в) 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)