- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 76768
Задание №76768 ЕГЭ по Математике (профиль)
На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше 
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно 
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения 
Решение:
а) Среднее арифметическое всех чисел
Пусть в группе 1 - все 5, а во 2 - все 3 и 4.
Тогда 
б) У нас есть 2 группы по 15 чисел, таким образом 
- сумма чисел в 1-ой группе, 
- во второй, тогда
Что и требовалось доказать.
в) Если количество "3" равно количеству "5" в 1-ой группе 
и 
Если количество "3" больше количества "5", то среднее арифметическое меньше 4 т. е наибольшая дробь меньшая 4: 
Так как в группе хотя бы 1 число должно быть.
Таким образом 
не больше 
а 
не может быть больше 5 т. е
Если в одной группе одна "5", а во 2-ой все оставшиеся
Ответ: а) пример: в 1-ой все "5", во 2-ой все "3" и "4" в) 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)