Задание №75414 ЕГЭ по Математике (профиль)

Тема : Числовые наборы на карточках/досках

Раздел: Задачи на теорию чисел

19 линия

Не выполнено

Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 - красную, если на 4 - синюю, если на 5 - зелёную. Получилось так, что на каждой карточке поставлено не менее двух цветовых отметок.
а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200?
б) Получилось, что на к карточках есть только синяя и зелёная отметки, на к карточках - только синяя и красная, на к карточках - только красная и зелёная. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.
в) Карточек с двумя отметками, одна из которых синяя, получилось 37. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.

Формула

Решение:
Число, записанное на карточке, должно делиться либо на 12 и не делиться на 5, либо на 15 и не делиться на 4, либо на 20 и не делиться на 3, либо на 60. Все числа, записанные на карточках, – натуральные и различные.
а) Наибольшее количество карточек будет равняться количеству всех чисел, входящих в промежуток от 1 до 200 и соответствующих условию:
Формула чисел кратных 12.
чисел кратных 15.
чисел кратных 20.
числа кратных 60.
3 числа кратных 60 – это 60; 120; 180, они также кратны 12, 15 и 20, но не подходят условию, так как кратны еще и 5, 4 и 3 соответственно, значит нужно вычесть их количество из суммы получившихся карточек с повторами:
Формула
Переберём все эти числа: 12; 15; 20; 24; 30; 36; 40; 45; 48; 60; 72; 75; 80; 84; 90; 96; 100; 105; 108; 120; 132; 135; 140; 144; 150; 156; 160; 165; 168; 180; 192; 195.
б) Было чисел делящихся на 12, или 15, или 20, но не кратных 60 и s чисел кратных 60, значит Формула должно быть кратно 3, а не превышает 20, так как s не может быть отрицательным числом
Из перебора в пункте «а» заметим:
- через каждые 4 числа, кратных 12, будет число кратное 60;
- через каждые 3 числа, кратных 15, будет число кратное 60;
- через каждые 2 числа, кратных 20, будет число кратное 60.
Переберём числа кратные 20. Подставим Формула значит не будет учитываться 5 чисел поэтому нужно взять еще 5 чисел, игнорируя Чисел кратных 60 получилось 8, но s должно быть равно минимум 9. Подставим значит не будет учитываться 6 чисел Формула поэтому нужно взять еще 6 чисел, игнорируя Чисел кратных 60 получилось 8, а s должно быть равно минимум 6. При будет 26 чисел
Переберём числа кратные 15. Так как Формула значит не будет учитываться 4 числа поэтому нужно взять еще 4 числа, игнорируя Таких чисел получилось
Переберём числа кратные 12. Так как значит не будет учитываться 3 числа Формула поэтому нужно взять еще 3 числа, игнорируя Таких чисел получилось
в) Чисел кратных 12 или 20, но не кратных 60 будет 37, тогда чисел кратных 15, но не кратных 60 или кратных 60, то есть чисел кратных 15 (если число делится на 60, то оно делится и на 15) будет Формула
Получаем: 12; 20; 24; 36; 40; 48; (60); 72; 80; 84; 96; 100; 108; (120); . . . (360); 372.
Обычное число - кратно 12; подчёркнутое число – кратно 20; число в скобках - кратно 15.
Таким образом, между числами, кратными 15, будет по 6 чисел кратных 12 или 20, но не кратных 60, значит будет 6 блоков по 6 этих чисел и ещё одно число в седьмом блоке. Так как нужно наименьшее, берём число кратное 12 Формула
Карточек с числами, кратными 15, должно быть

Ответ: а) 32; б) 520; в) 372

Источник: Сборник И.В. Ященко