- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 76034
Задание №76034 ЕГЭ по Математике (профиль)
Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом.
- к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
- вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 6 меньше суммы чисел второго набора?
б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза больше суммы чисел второго набора?
в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел второго набора к сумме чисел первого набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.
Решение:
Было некоторое число 
которое однозначное. После того, как приписали то же число оно станет 
Было двузначное число 
где 
новое однозначное число, стало 
а) 
- наор чисел до перестановки. 
- набор чисел после перестановки.
Однозначные:
Двузначные:
Пусть в 1 наборе будут числа 3, 15, 15, тогда во втором будет
33,3,3
Значит может быть.
б) 
Тогда 
Значит может быть.
в) Возьмем по 1 однозначному и по 1 двузначному.
Пусть исходные числа 11 и 9 тогда получим числа 1 и 99 и отношение 
и будет 5.
Докажем, что отношение и 
будет меньше или равно 5.
Пусть исходное число однозначное и было 
тогда двузначное будет 
Максимальное 
Значит максимальная левая часть неравенства 36, минимальные 
и 
это 1, тогда минимум в правой части - 36.
Значит при любых 
будет выполняться неравенство: 
где 5 максимум.
Ответ: а) да; б) да; в) 5
Источник: Сборник И.В. Ященко