Задание №76689 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) да, например, если последовательность начинается с 87 до 174, то 3 числа делятся на 25 (100, 125, 150) и 4 числа делятся на 29 (87, 116, 145 и 174).
б) Допустим есть последовательность содержащая 10 чисел, делящихся на 25. Тогда чисел делящихся на 29 не менее 11 (так как их количество должно быть больше по условию).
Чтобы было 11 чисел делящихся на 29, последовательность должна состоять из 10 отрезков по 29 числа (т. е 29...58) + одно число кратное 29.
Разобьем числа на блоки по 25 чисел: в одном блоке только 1 число делится на 25. Тогда таких полных блоков не более 10, и вне блоков может остаться не более 24 чисел.
Среди 291 подряд идущих чисел не менее кратных 20 нет, не может.
в) Пусть количество чисел, кратных 25, равно
Тогда чисел, кратных 29,
Причем чисел, кратных 25 не менее:



следовательно чисел кратных 25 не более 5

Например последовательность от 551 до 669.

Ответ: а) да б) нет в) 149

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)