Задание №38572 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть число в первой группе равно 1, число во второй группе равно 2, число в третьей группе равно 9. Сумма чисел до изменений равна После изменений на доске оказались числа 11, 28 и 9. Их сумма равна 

б) Пусть сумма всех чисел в первой группе до изменений равна А, а количество чисел равно m, сумма всех чисел во второй группе до изменений - B, а количество n, сумма всех чисел в третьей группе - C. Если к числу a приписать справа цифру t,, то оно станет равным Тогда после изменений сумма всех чисел в первой группе стала  так как единица прибавилась столько раз, сколько была приписана единица справа, то есть m раз. Аналогично сумма чисел во второй группе стала  в третьей группе осталась C. Тогда

Сумма чисел не меньше, чем их количество, поэтому   Так как  то  Значит, такое невозможно.

в) Рассмотрим отношение Q получившейся суммы к изначальной:

Будем максимизировать Q, то есть максимизировать значение дроби  Если в первой группе больше одного числа, перенесём какое-нибудь число во вторую группу. Сумма всех чисел, то есть  от этого не изменится. В первой группе станет  число, во второй  а дробь станет равной

Таким образом, значение Q увеличилось. Тогда если в первой группе не одно число, мы можем переносить их во вторую группу, пока не останется одно число, увеличивая каждый раз значение Q. Значит, если Q - максимальное, то в первой группе одно число.
Пусть в третьей группе больше одного числа. Перенесём какое-нибудь число во вторую группу, при этом сумма всех чисел  останется прежней. Пусть новая сумма чисел в третьей группе равна  Тогда  следовательно,  Количество чисел во второй группе станет  а значит, новое значение дроби будет

Таким образом, если Q максимально, то в третьей группе тоже одно число. Тогда в первой и в третьей группах по 1 числу, во второй группе k чисел (k - новое значение количества чисел во второй группе, после того, как числа из первой и третьей групп были перенесены во вторую), всего  числа.
Оценим знаменатель. Чем меньше знаменатель, тем больше значение дроби, а, значит, больше значение Q. Значит, нужно минимизировать значение  - сумму  различных натуральных чисел, а она не меньше, чем сумма первых  натуральных чисел. Значит, 
Так как  то

Пусть  Найдём, при каком значении 

k принимает наибольшее значение. Так как k - количество чисел, то будем рассматривать  только при натуральных k. Рассмотрим разность

Значит,  при   при   при  Значит, наибольшее значение Q будет при 
Найдём значение Q при 
при 
при 
При  функция убывает, значит, если  то  По условию  значит,  а всего чисел не больше, чем  Приведём пример, когда всего 10 чисел. Пусть в первой группе было написано число 2, в третьей группе число 1, а во второй числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11. Тогда изначально сумма всех чисел была:

После изменений числа стали: в первой группе 21, во второй группе 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98, 118, в третьей группе осталось число 1. Новая сумма равна

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а, б и в – 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в – 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен – 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованные ответ в пункте б – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: а) да; б) нет; в) 10

Источник: Сборник И.В. Ященко